IMDCT在MP3音频解码中的实现

一、引言

---MP3[1]，即MPEG Audio Layer-3，它是对数字音频的一种强有力的压缩算法，它可能不是压缩最强劲的工具，但他绝对是应用最广泛的压缩算法，MP3的解码是按照一定的步骤进行的[1]，如图（1）所示：

---在MPEG 音频的编解码标准中，编码时采用的是动态加窗和MDCT ，解码则是采用的是动态的去窗和IMDCT以达到较高的声音效果。这里只讨论解码和IMDCT，由于IMDCT在应用中的运算量特别大，所以如果直接进行计算将是一份沉重且耗时耗力的工作，所以一种高效的算法在MP3解码中是十分必要的。

---在实际应用中，并行的要比串行的效率要高，且实际应用中，IMDCT可以通过并行滤波网络来实现[2];另外，理论上证明，DCT 可以通过Clenshaw 循环公式来实现[3]，基于这些本文希望用Clenshaw[4]循环公式来实现。而且，MP3中用到的IMDCT是定长的，这样由Clenshaw 循环公式的得到的递归结构，就特别适合并行VLSI实现，并且与直接计算比起来，可以节省运算次数和硬件资源。

二、Clenshaw 的递归公式

Clenshaw循环公式在估计已给定的循环公式的系数方面是一流的，极其高效的。它的一些特性和正选曲线循环公式很相似。在这里主要用它来推到IMDCT的递归算法。

---首先先看一下Clenshaw 循环公式：

f(x) = ( 1 )

并且，遵循下面的递归关系

（2）

对于公式中的和有下面的约束：

1）.公式定义，k ＝ N － 1，· · · ，0;且有：

（3）

其中是已知的,所以可以作如下推导：

f(x) = =

合并后得到：

f(x)＝（4）

这就是Clenshaw公式的降序递归排列。

同理，可以得到Clenshaw公式的升序排列

（5）

f(x)可以通过下面的公式计算得到;

（6）

三、推导IMDCT算法

首先看一下IMDCT的公式，X（k）,k = 0,1,·····，M－1。X(k)作为信号的输入源，现在需要对它作IMDCT变换，结果保存在x(n)中，n = 0,1, ····N-1.其中N＝ 2M，N表示的是窗的长度，M代表的是变换的系数。（在实际的应用中，M是固定的）

为了方便推导，这里定义：

＝

所以，

根据（3）式可以定义：

（8）

结合（4）式，可知：（9）

将和代入上式得到

（10）

（10）式可以写为：x(n) ＝

由（8）式当k = 0知：

从而可以得到：（11）

同样，是由按照（8）式的输入序列X（k）递归产生的，在第M步，第n个IMDCT系数由式（9）计算得出。

四、VLSI的实现

在大规模集成电路中，我们可以通过图（2）和图（3）来实现上述算法：

图（2）使用(10)式实现IMDCT（升序）

图（3）使用(11)式实现IMDCT（降序）

变换中的所有元素都可以并行计算，可以在大规模集成电路中实现。与文献【2】的方法相比较，本算法多需要一个延迟元件，输入信号应该按照倒序输入;但是不用考虑M的奇偶性，其中使用的加法器和乘法器是一样多的，为了计算一个N点输出的IMDCT的一个样本输出值，使用图（2）需要进行（M＋2）次乘法和（2M＋1）次加法，而【2】中则需要3M次加法;而如果使用图（3）则需要进行（M ＋1）次乘法和（2M＋1）次加法。

五、性能比较

下面将就本算法与【1】中提供的算法和传统的实现方法作一对比：

表(1)本算法和【2】中算法的比较

表（2）是就该方法和传统的其他实现方法的运算量粗略比较（M＝ 18）[5]

六、结论

---本文以Clenshaw的循环公式为依据，介绍了两种实现定长IMDCT的方法,它们都很适合在大规模集成电路中实现，接着把两种方法和【2】中方法及传统的一些实现方法进行对比。发现这两种方法比【2】中方法可以节省30％－50％的运算，比起其他传统方法可节省50％－95％的运算量，而且使用时不用关心M的奇偶性，升序递归不需要额外的内存，所以只有一种方法是实际需要的。

参考文献：

【1】 CODING OF MOVING PICTURES AND ASSOCIATED AUDIO ,ISO/IEC JTC/SC29/WG11 NO805 11/November/1994 .

【2】 Regressive Implementation for the Forward and Inverse MDCT in the MPEG Audio Coding,Hwang-Cheng Chiang and Jie-Chemg Liu,IEEE Signal Processing Letters,vol. 3,pp.116-118,Apr.1996.

【3】 Computation ofDiscrete Cosine Transform Using Clenshaw’s Recurence Formula,Maurice F.Aburdence,Jianqing Zheng,and Richard J.Kozick,IEEE Signal Processing Letters,vol.2.NO.8,August 1995.

【4】 ClenshawRecurrence Formula ,http://mathword.wolfram.com/ClenshawRecurrenceFormula.html.

【5】The Modified Discrete Cosine Transform (MDCT) and MPEG Audio encoding.Mike Cheng (mikecheng@cryogen.com][version1.0] June 28, 1999.